क्या इसके लिए प्रतीकात्मक अभिन्न अंग प्राप्त करना संभव है?

यहाँ समारोह है $$ मैं \;=\;\int_{\theta=0}^{\pi}\!\!\!\int_{\phi=0}^{2\pi} \dfrac{R^2\,\sin(\theta)\,\Bigl(\tfrac{a}{2} \;-\;R\,\sin(\theta)\,\cos(\phi)\ बड़ा)} {bigl[a^2 \;-\; a\,R\,\bigl(\sin\theta\,\cos\phi \;+\;\sin\theta\,\sin\phi \;+\;\sqrt{2}\,\cos\theta \bigr)+R^2\bigr]^{3/2}} \;d\phi\,d\theta, $$

जब $a>0,\quad R>0,\quad R
मेरी राय में, इसे किसी भी अण्डाकार को प्रस्तुत किए बिना एक प्रतीकात्मक उत्तर प्राप्त करने में सक्षम होना चाहिए फ़ंक्शन।

हालाँकि, Mathematica में इसका मूल्यांकन करने में काफी समय लगता है और अंततः मुझे हार माननी पड़ती है।

यह $$\frac{2 \pi R^2} {a^2 होना चाहिए }$$

एक कर सकते हैं कम से कम $\mathcal{O}(R^6)$ के परिणाम को प्रदर्शित करने के लिए $R$ में एक श्रृंखला विस्तार का उपयोग करें।

निम्नलिखित पर विचार करें:

इसलिए हमारे पास जो इंटीग्रैंड है :

और इसकी श्रृंखला के विस्तार के लिए:

अब एकीकृत करें:

ध्यान दें, किसी अतिरिक्त धारणा की आवश्यकता नहीं है, हालांकि, यदि $R>a$ का परिणाम वांछित है, किसी को अनंत पर $R$ से अधिक का विस्तार करना होगा और उसी प्रक्रिया का पालन करें. इससे शून्य प्राप्त होता है।