मैक्सिमल उपसमूह में या तो केंद्र या कम्यूटेटर उपसमूह होता है

यहाँ समस्या है:

मान लीजिए $G$ एक समूह है और $H$, $G$ का अधिकतम उपसमूह है। दिखाएँ कि या तो $Z(G) \leq H$ या $G' \leq H$।

मुझे पता है कि यदि $G$ आबेलियन है, तो $G = Z(G)$, $G' = \{e\}$, और $G' \leq H$।

इसके अलावा, यदि $G$ एबेलियन नहीं है लेकिन $H$ एबेलियन है, तो $Z(G) \leq H$, क्योंकि अन्यथा उपसमूह $\langel Z(G), H \rangle$, $G$ का एक एबेलियन उपसमूह होगा जिसमें $H$ शामिल है, और $H$ की अधिकतमता के कारण, $G$ के बराबर है, जो इस तथ्य का खंडन करता है कि हमने लिया $G$ का गैर-एबेलियन होना।

मैं इस बारे में अनिश्चित हूं कि क्या होता है जब $G$ और $H$ दोनों गैर-एबेलियन होते हैं। किसी भी संकेत की सराहना की जाएगी!

एक संक्षिप्त उत्तर। हम मान सकते हैं कि $Z=Z(G)$ $H$ में समाहित नहीं है, और हमें यह साबित करना होगा कि $G'\le H$। तो $HZ$ में उचित रूप से $H$ शामिल है, इसलिए अधिकतमता से $G$ के बराबर है। उपसमूह $N=Z\cap H$ केंद्रीय है इसलिए सामान्य है, और इस प्रकार $G/N=H/N \times Z/N$। तो $(G/N)'=(H/N)'$, यानी $G'N=H'N$। इस प्रकार $G'\subset G'N=H'N=H'(H\cap Z)\subset H$.

ध्यान दें कि मैं $G$ को परिमित नहीं मान रहा हूं।

यहां एक वैकल्पिक दृष्टिकोण है (टिप्पणियों में @SteveD के अच्छे संकेत का उपयोग किए बिना)।

हम $|G|$ से अधिक प्रेरण द्वारा काम करते हैं। मान लीजिए कि $H$ में शामिल $G$ का एक न्यूनतम सामान्य उपसमूह $N$ मौजूद है। तब $H/N$ $G/N$ का अधिकतम उपसमूह है। प्रेरण द्वारा $Z(G/N)\leq H/N$ या $(G/N)'=G'N/N\leq H/N$. चूँकि $Z(G)N/N\leq Z(G/N)$ तो हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि $Z(G)\leq H$ या $G'\leq H$। इस प्रकार हम मान सकते हैं कि $H$ में कोई गैर-तुच्छ उपसमूह नहीं है जो $G$ में सामान्य है।

यदि $Z(G)\nleq H$ और $G'\nleq H$ तो $G= Z(G)H=G'H$ $H$ की अधिकतमता से। अब, चूँकि $H,Z(G)\leq N_G(Z(G)\cap H)$ और $H,Z(G)\leq N_G(G'\cap H)$ तो दोनों $Z(G)\ $G$ में कैप H$ और $G'\cap H$ सामान्य हैं, और इसलिए ये उपसमूह तुच्छ हैं। फिर

$$G/Z(G)\cong H/Z(G)\cap H=H/G'\cap H\cong G/G'$$ एबेलियन है. चूँकि $G/Z(G)$ शून्य-शक्तिशाली है तो $G$ भी है, और इसलिए $H\unlhd G$ (चूंकि यह शून्य-शक्तिशाली समूह $G$ का एक अधिकतम उपसमूह है)। परिणामस्वरूप $G/H$ प्राइम ऑर्डर का एक चक्रीय समूह है और इसलिए $G'\leq H$ (चूंकि $G/H$ एबेलियन है), जो एक विरोधाभास है।