पथ अभिन्न सूत्रीकरण और फूरियर रूपांतरण के बीच संबंध

मैं अभी पाथ इंटीग्रल फॉर्मूलेशन के बारे में सीख रहा हूं और मुझे ऐसा लगता है कि फूरियर ट्रांसफॉर्म के साथ, कम से कम वैचारिक रूप से, एक संबंध है। दो बिंदुओं के बीच. प्रत्येक पथ क्रिया द्वारा निर्धारित एक चरण कारक के साथ योगदान देता है। जबकि सिद्धांत में, सभी पथ योगदान करते हैं, व्यवहार में, शास्त्रीय पथ (वह जो कार्रवाई को कम करता है) के पास के पथों में रचनात्मक हस्तक्षेप होता है, जबकि अन्य विनाशकारी हस्तक्षेप के कारण बड़े पैमाने पर रद्द हो जाते हैं।

$${\displaystyle \psi (x,t)={\frac {1} _
फूरियर ट्रांसफॉर्म करते समय हमें पता चलता है कि जैसे ही यूनिट वेक्टर घूमता है, यह सभी आवृत्तियों, विनाशकारी हस्तक्षेप को रद्द कर देता है, उन आवृत्तियों को छोड़कर जो हमारे हित, रचनात्मक हस्तक्षेप के कार्य में मौजूद हैं, और हम इसे प्राप्त करते हैं परिणाम केवल वही आवृत्तियाँ हैं जो आरंभिक फ़ंक्शन में मौजूद हैं। x)\ e^{-i2\pi \xi x}\,dx,\quad \forall \xi \in \mathbb {R} .}$$

आप समीकरणों में समानता भी देख सकते हैं , अर्थात् किसी चीज़ को $e^{i...}$ से गुणा किया जा रहा है और एकीकृत किया जा रहा है।

क्या मैं किसी चीज़ पर विचार कर रहा हूँ या मैं इस संबंध में अतिशयोक्ति कर रहा हूँ?

इसके लायक क्या है, पथ अभिन्न $^1$ $$ Z[J]~=~ \int \! {cal D}\phi~e^{\frac{i}{\hbar}\left(S[\phi]+J_k\phi^k\right)}~=~\वाइडहैट{e^{\frac{ i}{\hbar}S}} \tag{1}$$ इसे बोल्ट्ज़मैन कारक के अनंत-आयामी फूरियर रूपांतरण के रूप में देखा जा सकता है $$ e^{\frac{i}{\hbar}S}\tag{2}$$ फ़ील्ड वेरिएबल $\phi^k$ से सोर्स वेरिएबल $J_k$ तक।

$^1$ यहां डेविट के संक्षिप्त नोटेशन का परोक्ष रूप से उपयोग किया जाता है।

आप वास्तविक से बहुत दूर हैं कनेक्शन।

रचनात्मक हस्तक्षेप भाग, पुनर्सामान्यीकरण, जेडब्ल्यूकेबी, गड़बड़ी सिद्धांत, स्टोक्स की घटना, फ्रेस्नेल इंटीग्रल्स और इसके आगे के बहुत सारे लिंक के साथ, स्थिर से आ रहा है चरण सन्निकटन और फूरियर रूपांतरण नहीं।

प्रगति करने का दूसरा तरीका लाई समूह मशीनरी, ऑपरेटर फैक्टराइजेशन, सिम्प्लेक्टिक विधियां आदि होगा।

यदि आप पथ इंटीग्रल्स और फूरियर रूपांतरण के बीच संबंध चाहते हैं , निकटतम संपर्क का स्पष्ट बिंदु चरण स्थान पर शास्त्रीय प्रक्षेपवक्र के साथ शुरू करना है, और फिर बचे हुए पथ अभिन्न को फूरियर गुणांक पर अनंत रूप से कई अभिन्न में परिवर्तित करना है। कहने की जरूरत नहीं है कि बहुत कम लोगों को इसकी परवाह है। हालाँकि, इतने लोग इस बात की परवाह करते हैं कि हम समझते हैं कि स्वयं महान फेनमैन ने भी इसे गलत समझा था; यदि आप शास्त्रीय प्रक्षेप पथों से शुरू नहीं करते हैं, तो पथ अभिन्न का अभिसरण विफल हो सकता है, खासकर यदि आप इसे भोलेपन से देखते हैं। उस मामले में, मुझे याद नहीं आ रहा है, न ही वे किताबें और लेख जो इस विषय को कवर करते हैं (यदि आप चाहें तो कम से कम शुलमैन की जाँच करें, लेकिन मेरी अपनी प्रति समुद्र के पार है), और न ही यदि अतिरिक्त शर्तें हैं तो आप सीधे बचाव के लिए लगा सकते हैं दृष्टिकोण।

फूरियर रूपांतरण हिल्बर्ट अंतरिक्ष में विस्तार है, उदाहरण के लिए, गति eigenfunctions में। यह पथ इंटीग्रल की तुलना में कहीं अधिक बुनियादी है।

सबसे तेज वंश की विधि संभवतः आपके मन में जो है उसके करीब है। यह वर्णित प्रक्रिया के गैर-पथ-अभिन्न समतुल्य - डब्लूकेबी सन्निकटन को देखने लायक भी है।

जिस बात ने फेनमैन को पथ अभिन्न के विचार के साथ आने के लिए प्रेरित किया (जहाँ तक मुझे पता है) वह फ़र्मेट का सिद्धांत था . ऐसा हो सकता है कि दोनों मामलों में होने वाले विनाशकारी हस्तक्षेप पर आधारित कुछ संबंध हो, लेकिन पथ इंटीग्रल और फूरियर ट्रांसफॉर्म के बीच एक बुनियादी वैचारिक अंतर है। पथ इंटीग्रल एक सिस्टम की गतिशीलता को मॉडल करता है, जबकि फूरियर ट्रांसफॉर्म एक प्रकार के फ़ंक्शन को दूसरे प्रकार के फ़ंक्शन में परिवर्तित करता है। इसलिए, जबकि फूरियर ट्रांसफॉर्म का आउटपुट इनपुट फ़ंक्शन में मौजूद सभी जानकारी को बरकरार रखता है, पथ इंटीग्रल उस मात्रा का मूल्यांकन करता है जो सीए