एक गैर-सामान्य उपसमूह का सामान्य समापन

जब $G$ एक परिमित समूह है और $H$ एक उचित उपसमूह है, तो यह सर्वविदित है कि सभी संयुग्म उपसमूहों का संघ $\bigcup_{g\in G} gHg^{-1}$ कभी भी बराबर नहीं होता है $जी$. (यही सच है जब $G$ की परिमितता सूचकांक $[G:H]$ के परिमित होने तक कमजोर हो जाती है।) जब $H \lhd G$, यह संघ $H$ के बराबर होता है और इस प्रकार एक उपसमूह होता है। क्या यह संघ $G$ का एक उपसमूह हो सकता है जब $H \not\lhd G$?

समानतः, चूँकि $G$ में $H$ का सामान्य बंद होना $ द्वारा उत्पन्न $G$ का उपसमूह है \bigcup_{g\in G} gHg^{-1}$, क्या $G$ में $H$ का सामान्य समापन कभी भी वह मिलन हो सकता है जब $H\not\lhd G$?

I कोई भी खोजने में असमर्थ रहे हैं इसके उदाहरण या इस मुद्दे पर कहीं भी चर्चा पाई जा सकती है। $H$ के सामान्य समापन से इसका संबंध मुझे "रिवर्स" प्रश्न की याद दिलाता है कि क्या कम्यूटेटर उपसमूह सभी कम्यूटेटरों के सेट से कभी बड़ा होता है, सिवाय इसके कि मैंने देखा है कि समूह सिद्धांत पुस्तकों और उदाहरणों में चर्चा किए गए कम्यूटेटर उपसमूह प्रश्न आसानी से पाए जाते हैं ऑनलाइन (सबसे छोटे वाले का ऑर्डर $96$ है)।

उदाहरणों का एक परिवार कीथ किर्नेस द्वारा एक टिप्पणी में दिया गया है, जिसे मैं यहां एक उत्तर के रूप में रखूंगा।

चलिए $V$ एक हो परिमित-आयामी $\mathbf F_p$-वेक्टर स्थान आयाम $d \geq 1$ के साथ। समूह कानून के साथ $G = V \rtimes \rm Aut}(V)$ सेट करें $$ (v,A)(w,B) = (v + A(w),AB) $$ और $(v,A)^{-1} = (-A^{-1}(v),A^{-1})$.

प्रमेय। उपरोक्त संकेतन के साथ, $L$ को $V$ और $H = (L,1)$ का $1$-आयामी उप-स्थान होने दें। फिर $H$, $G$ का एक उपसमूह है और $$ \bigcup_{g \in G} gHg^{-1} = (V,1) = \{(v,1) : v \in V\}, $$ जो $G$ का एक उपसमूह है और $d > 1$ होने पर $H$ से सख्ती से बड़ा होता है।

प्रमाण। मान लीजिए $v_0$ $L$ में एक गैर-शून्य वेक्टर है, इसलिए $L = \mathbf F_pv_0$ और $H = \langel (v_0,1)\rangel$। $g = (v,A) \in G$ के लिए, $$ g(v_0,1)g^{-1} = (A(v_0),1), $$ जहां $g$ में $v$ अंतिम परिणाम में कोई भूमिका नहीं निभाता है। इस प्रकार $gHg^{-1} = g\langel(v_0,1)\rangle{g}^{-1} = \langle (A(v_0),1)\rangel$. चूँकि ${\rm Aut}(V) = \rm GL}(V)$, $\bigcup_{g \in G} g(v_0,1)g^{-1} = \bigcup_{A \in { \rm GL}(V)} A(v_0) = V - \{0\}$ और $(0,1) \in H$, इसलिए $$ \bigcup_{g \in G} gHg^{-1} = (V,1), $$ जो $G$ का एक उपसमूह है। यह निश्चित रूप से $H$ से बड़ा है जब तक कि $L = V$ न हो, जिसका अर्थ है कि $V$ $1$-आयामी है। इसलिए जब तक $V$ का आयाम $1$ से अधिक है, $\bigcup_{g \in G} gHg^{-1} \not= H$. QED

प्रमाण में, हमने उस संपत्ति पर भरोसा किया कि ${\rm Aut}(V)$ $V - \{0\}$ पर सकर्मक रूप से कार्य करता है। प्रत्येक गैर-तुच्छ परिमित समूह के साथ वह संपत्ति कुछ अभाज्य $p$ के लिए $\mathbf F_p$ से अधिक एक परिमित-आयामी वेक्टर स्थान है: प्रमेय $3.15$ यहां देखें।

$V \rtimes \rm Aut}(V) के बारे में सोचने का एक तरीका )$ एफ़िन-लीनियर मानचित्र $V \to V$ के सेट के रूप में है, जहां अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद में $(v,A)$ एफ़िन-लीनियर मानचित्र $\mathbf से मेल खाता है x \mapsto A\mathbf x + v$ पर $V$। ऐसे $V$ का सबसे छोटा उदाहरण $\mathbf F_2^2$ है, जिसके लिए $V \rtimes \rm Aut}(V)$ का आकार $4 \cdot 6 = 24$ है और एफ़िन-लीनियर मानचित्रों का समूह $ \mathbf F_2^2 \to \mathbf F_2^2$ समूह $S_4$ के लिए समरूपी है। तो $S_4$ उस प्रकार के समूह का एक उदाहरण है जिसकी मैं तलाश कर रहा था, $\mathbf F_2^2$ के साथ $S_4$ में अनुवाद के रूप में $\mathbf F_2^2$, जहां गैर-शून्य अनुवाद प्रकार के क्रमपरिवर्तन हैं $(2,2)$. यह एक बहुत ही ठोस उदाहरण की ओर ले जाता है।

उदाहरण। मान लीजिए $G = S_4$ और $H = \langel (12)(34)\rangel$. तब $$ \bigcup_{g \in G} gHg^{-1} = \{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)\} $$ $4$ ऑर्डर के साथ $S_4$ का सामान्य उपसमूह है।