क्या एक "सार्वभौमिक सूत्र" की खोज करना संभव है जो सभी विषम Collatz संख्याओं को उत्पन्न और सामान्यीकृत करता है?

मैं बस एक साधारण छात्र हूं, और मुझे गणितज्ञों से यह प्रश्न पूछने का कभी मौका नहीं मिला। शायद यह यहां पूछने का यह पहला अवसर है।

जब हम "कोलाट्ज़ संख्याओं" का उल्लेख करते हैं, तो हमारा मतलब उन सभी प्राकृतिक संख्याओं से है जो अंततः कोलाट्ज़ प्रक्रिया के तहत $1$ तक पहुंचती हैं। विषम-चरणीय Collatz संख्याओं द्वारा, हम केवल उन विषम संख्याओं पर विचार करते हैं जो अनुक्रम के प्रत्येक चरण में दिखाई देती हैं, सभी सम संख्याओं को छोड़कर। उदाहरण के लिए, $n=4$ के लिए, विषम-चरणीय Collatz संख्याओं का एक संभावित क्रम है: $$11 \rightarrow 17 \rightarrow 13 \rightarrow 5 \rightarrow 1 $$

इसी तरह, $n = 6 के लिए $, एक अन्य उदाहरण अनुक्रम हो सकता है:

$$ 19 \दायां तीर 29 \दायां तीर 11 \दायां तीर 17 \दायां तीर 13 \दायां तीर 5 \दायां तीर 1 $$

अब, मेरा प्रश्न है: क्या एक "सार्वभौमिक सूत्र" (या कुछ "जादुई सूत्र") खोजना संभव है जो बिल्कुल $n$ विषम चरणों के साथ विषम संख्याओं के सभी अनुक्रम उत्पन्न करता है Collatz प्रक्रिया?

उदाहरण के लिए, $f(n) = 2^n$ जैसे फ़ंक्शन पर विचार करें। हालाँकि यह एक अनुक्रम उत्पन्न करता है, यह विषम-चरणीय Collatz संख्याओं का पूरा अनुक्रम उत्पन्न करने की कसौटी पर खरा नहीं उतरता है, क्योंकि इसका परिणाम केवल एक विषम चरण होता है। मैं $f(n) = 2^n$ का उपयोग केवल एक उदाहरण के रूप में करता हूं ताकि यह स्पष्ट हो सके कि मैं किस प्रकार का फॉर्मूला ढूंढ रहा हूं।

संक्षेप में, किसी दिए गए $n$ के लिए, क्या कोई सामान्य सूत्र है â $f(n) = 2^n$ के समान जो सार्वभौमिक रूप से $n$-स्टेप विषम Collatz संख्याओं के सभी अनुक्रम उत्पन्न करता है? क्या गणितज्ञों द्वारा ऐसा कोई सूत्र खोजा गया है या उसका अध्ययन किया गया है? आइए मैं "यूनिवर्सल फॉर्मूला" से जो तात्पर्य है उसे फिर से लिखूं। उदाहरण के लिए, जब $n = 1$ एक परिमित संख्या है, तो हमारे पास $\dfrac {4^n-1}{3}$ जैसा एक सूत्र होता है। हम पीछे जा सकते हैं और $n = 2$ के लिए ऐसे सूत्र बना सकते हैं।

लेकिन, मेरे लिए यह जानना एक शानदार अनुभव होगा कि क्या कोई "सूत्र" जो सीधे तौर पर $n$ पर निर्भर करता है, मौजूद है या - यदि यह पहले से ही ज्ञात है - इसे समझने के लिए।

पूर्णांक $s$ का सेट $S$ इस प्रकार है कि $s$ से शुरू होने वाला Collatz पुनरावृत्ति $n$ विषम शब्दों के बाद 1 में समाप्त होता है, अर्ध-निर्णायक है (उर्फ गणनात्मक रूप से गणनीय या पुनरावर्ती गणनीय)। इसका मतलब यह है कि एक एल्गोरिथ्म मौजूद है जो $s$ को इनपुट के रूप में लेता है, और यदि $s$ सेट से संबंधित है तो यह सही रिटर्न देता है, जबकि यदि $s$ सेट से संबंधित नहीं है तो यह गलत रिटर्न देता है या कभी खत्म नहीं होता है। ऐसा केवल इसलिए है क्योंकि आप एल्गोरिदमिक रूप से $s$ से शुरू होने वाले Collatz अनुक्रम की गणना कर सकते हैं, और $n$ विषम संख्याएं देखने के बाद यदि आप 1 तक पहुंचते हैं तो सत्य लौटा सकते हैं।

इसलिए, MRDP प्रमेय के परिणामस्वरूप ( मटियासेविच-रॉबिन्सन-डेविस-पुटनम), $k+1$ चर में और पूर्णांक गुणांक के साथ एक बहुपद $P$ मौजूद है जैसे कि $S = \{s \ | \ â x_1, â¦, x_k â â¤, P(s, x_1, â¦, x_k) = 0\}$ , अर्थात, $S$ मानों का समुच्चय $s$ है जैसे कि समीकरण अज्ञात $P(s, x_1, â¦, x_k)$ के पास $x_1, â¦, x_k â â¤$ का समाधान है। âÂÂसूत्रâ के कई उचित अर्थों के लिए, यह एक ऐसा सूत्र है जो $S$ उत्पन्न करता है।

दुर्भाग्य से, यह Collatz समस्या में बहुत मदद नहीं करता है। यह एक लोकप्रिय ग़लतफ़हमी है कि किसी चीज़ का फॉर्मूला ढूंढने से किसी जादुई तरीके से उस चीज़ को समझना आसान हो जाएगा। उदाहरण के लिए, गैर-गणितज्ञों के बीच एक आम धारणा के विपरीत, अभाज्य संख्याओं के लिए कई सूत्र हैं (एमआरडीपी प्रमेय का भी उपयोग किया जा सकता है, क्योंकि अभाज्य एक अर्ध-निर्णायक सेट भी हैं), फिर भी यह कुख्यात कठिनाई को कम करने के लिए कुछ नहीं करता है अभाज्य संख्याओं के व्यवहार को समझना। वास्तव में एमआरडीपी प्रमेय इतना सामान्य है कि यह आपको जुड़वां अभाज्य संख्याओं या गोल्डबैक के अनुमान के प्रति उदाहरणों के लिए सूत्र देता है, फिर भी हम अभी भी नहीं जानते हैं कि क्या अनंत रूप से कई जुड़वां अभाज्य संख्याएँ हैं (क्योंकि हम एक पैरामीटर के साथ एक समीकरण पा सकते हैं) यदि $n$ और $n+2$ जुड़वां अभाज्य संख्याएं हैं, तो $n$ का कोई हल है, लेकिन हम नहीं जानते कि यह कैसे साबित किया जाए कि इस समीकरण में $n$ के अनंत कई मानों के लिए कोई हल है), न ही क्या कोई कू है