एक त्रिभुज का प्रतिनिधित्व करने के लिए बीजगणितीय समीकरण।

एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई क्रमशः $p, q, r$ है। यदि $p^2 + q^2 + r^2= pq + qr + pr$, तो यह त्रिभुज है

(A) समबाहु त्रिभुज

(B) समद्विबाहु त्रिभुज

(C) समकोण त्रिभुज

(D) अधिक कोण त्रिभुज

मेरा प्रयास: \शुरू करें{संरेखित करें} &p^2 + q^2 + r^2= pq + qr + pr \\ &\इसका तात्पर्य (p^2-pq) + (q^2-qr) +( r^2-pr)=0 \\ &\इसका तात्पर्य है p(p-q)+q(q-r)+r(r-p)=0, \अंत{संरेखित करें} लेकिन मैं इस जानकारी को दिए गए विकल्पों से जोड़ने में असमर्थ हूं। कृपया मेरी मदद करें।

चूंकि $p^2+q^2+r^2 \geq pq+qr+rp$ के लिए $p,q,r \in R^{+}$
< br>लेकिन यह देखते हुए कि $p^2+q^2+r^2 = pq+qr+rp$।

समानता तब कायम रहती है जब $p=q=r$।

इसलिए समबाहु त्रिकोण।

ध्यान दें:

$(p-q)^2\geq 0$ , $p^2+q^2\geq 2pq$

$(q-r)^ 2\geq 0$ , $q^2+r^2\geq 2qr$

$(r-p)^2\geq 0$ , $r^2+p^2\geq 2rp$

फिर

$p^2+q^2+r^2 \geq pq+qr+rp$ $p,q,r \in R^{+}$ के लिए

मैं पर्सन एवरेज के सुझाव को स्पष्ट करना चाहता हूं: \शुरू करें{संरेखित करें} &2(p^2+q^2+r^2)=2(pq+qr+rp) \\ &\इसका तात्पर्य है (p^2-2pq+q^2)+(q^2-2qr+r^2)+(r^2-2rp+p^2)=0 \\ &\इसका तात्पर्य है (p-q)^2+(q-r)^2+(r-p)^2=0 \\ &\इसका तात्पर्य है p=q=r. \end{संरेखण}

आपको बस बाएं हाथ और दाएं हाथ के लिए $2$ को गुणा करना है, फिर आप पा सकते हैं कि यह $(3\times \text{square}) = 0$ है और उन्हें यह करना ही होगा सब शून्य हो जाओ अतः यह एक समबाहु त्रिभुज है।