शुभ 2025! यह गणित समीकरण अंततः सत्य है। अगली बार यह कब सच होगा?

जिसने भी सम्मिश्र संख्याओं का अध्ययन किया है, वह जानता है कि डी मोइवर का प्रमेय हमें यही बताता है $$(\color{red}{\cos}\theta+i\color{blue}{\sin}\theta)^{2025}\equiv\color{red}{\cos}(2025\theta)+i \रंग{नीला}{\sin}(2025\थीटा)$$

लेकिन
$$(\color{blue}{\sin}\theta+i\color{red}{\cos}\theta)^{2025}\equiv\color{blue}{\sin}(2025\ थीटा)+i\रंग{लाल}{\cos}(2025\थीटा)$$

है यह भी सत्य है।

दूसरे प्रकार का समीकरण हर वर्ष के लिए सत्य नहीं है। उदाहरण के लिए, यह 2024, या 2023 के साथ काम नहीं करता है।

अगली बार इस तरह का समीकरण कब सच होगा?

दूसरे के बाएँ हाथ के आधार को फिर से लिखना कथन, $$\color{blue}\sin(\theta) + i\color{red}\cos(\theta)= \color{red}\cos(\pi/2 - \theta) + i\color{blue} \sin(\pi/2 - \theta) = e^{i(\pi/2 - \theta)} $$

इसे कुछ शक्ति तक बढ़ाना $n$ अब सरल है, $$(\रंग{नीला}\sin(\theta) + i\color{red}\cos(\theta))^n = e^{in(\pi/2 - \theta)} = \रंग{लाल }\cos(n\pi/2 - n\theta) + i\color{blue}\sin(n\pi/2 - n\theta)$$

$\color{red} के लिए \cos(n\pi/2 - n\theta)$ अब $\color{blue}\sin(n\theta)$ बनने के लिए और इसके विपरीत, हमें $n\pi/2 \text{ mod } 2\pi = \pi/2$ की आवश्यकता है, या $$\frac{(n-1)\pi}{2} = 2k\pi \ का अर्थ है n = 4k + 1$$ किसी भी पूर्णांक $k$ के लिए।

तो, इस संपत्ति को संतुष्ट करने के लिए $2025$ के बाद अगली संख्या इससे $4$ अधिक होगी, जिसका अर्थ है कि अगली बार स्थिति सत्य है $\mathbf{2029}$ में .

एक और समाधान:

$\begin{संरेखण}\रंग{हरा}{(\sin\theta+i\cos\theta)^n}&\equiv[i(\cos\theta-i\sin\ थीटा)]^n\\&\equiv i^n(\cos(-\theta)+i\sin(-\theta))^n\\&\equiv i^n(\cos(-n\theta)+i\sin(-n\theta))\\&\equiv i^n(\cos(n\theta)-i\sin(n\theta))\ \&\equiv \color{red}{i^{n-1}}\color{green}{\left(\sin(n\theta)+i\cos(n\theta)\right)}\\\ अंत{संरेखण}$ तो यदि और केवल यदि $n=4k+1$, तो $\color{green}{(\sin\theta+i\cos\theta)^n}\equiv \color{green}{\left(\sin( n\theta)+i\cos(n\theta)\right)}$

तो उत्तर है:

$2029$