एक बहुपद की जड़ों के लिए स्पर्शोन्मुख

मैं हिल्बर्ट स्थान पर एक आइगेनवैल्यू समस्या का अध्ययन कर रहा हूं। मैं इसे प्रथम क्रम की गतिशील प्रणाली में बदल देता हूं। मुझे उस स्पर्शोन्मुख प्रणाली के स्पर्शोन्मुख व्यवहार की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, मुझे उस स्पर्शोन्मुख प्रणाली से जुड़े स्वदेशी मूल्यों की गणना करने का सामना करना पड़ रहा है। मेरे मापदंडों के कुछ विशिष्ट मानों के लिए, विशेषता बहुपद चर $r$ के लिए निम्नलिखित बहुपद का रूप लेता है $$ (1.6)r^3-\lambda r^2-(0.4) r+\lambda=0, $$ जहां $\lambda$ एक जटिल पैरामीटर है। मुझे पता है कि, जैसे $|\lambda|\to \infty$, $\Re(\lambda)>0$, तो जड़ों के वास्तविक हिस्से $\pm 1$ और $0$ होते हैं। मैं इसे अंकों से जानता हूं। आमतौर पर, जब ऐसी किसी समस्या का सामना करना पड़ता है, तो मैं इसे $\lambda=\lambda_0/\epsilon$ मानते हुए एकल गड़बड़ी के माध्यम से निपट सकता हूं, लेकिन उस मामले को संभालना मेरे द्वारा काम किए गए अन्य मामलों की तुलना में अधिक कठिन लगता है। अगर कोई मदद कर सके. यहां तक ​​कि इस तथ्य को $\lambda$ के लिए वास्तविक साबित करना भी सहायक होगा।

तथ्य 1. मान लीजिए $0 \ne \lambda \in \mathbb{C}$। मान लीजिए $r_1, r_2, r_3$ के साथ $|r_1| \le |r_2| \le |r_3|$ और $\mathrm{Re}(r_1) \le \mathrm{Re}(r_2)$ घन समीकरण के मूल हों $$\frac85 r^3 - \lambda r^2 - \frac25 r + \lambda = 0.$$ फिर, $$\lim_{|\lambda| \to \infty} r_1 = -1, \quad \lim_{|\lambda| \to \infty} r_2 = 1, \quad \lim_{|\lambda| \to \infty} \frac{r_3}{\lambda} = \frac58.$$

तथ्य 1 का प्रमाण।

विएटा के प्रमेय से, हमारे पास है \शुरू करें{संरेखित करें*} r_1 + r_2 + r_3 &= \frac58 \lambda, \tag{1}\\ r_1r_2 + r_2r_3 + r_3 r_1 &= - \frac14,\tag{2}\\ r_1r_2r_3 &= - \frac58 \lambda.\tag{3} \end{संरेखण*}

हम दावा करते हैं कि $|r_2| <2$. वास्तव में, (1) और (3) से, हमारे पास है $$r_1 + r_2 + r_3 + r_1 r_2 r_3 = 0. \tag{4}$$ $\frac{4(1 + r_2r_3)} $$4 = \frac{4}{r_2^2} + \frac{4}{r_3^2} + \frac{3}{r_2r_3} - \frac{1}{r_2^2r_3^2}.$$ हालाँकि, $|\frac{4}{r_2^2} + \frac{4}{r_3^2} + \frac{3}{r_2r_3} - \frac{1}{r_2^2r_3^2}| \le \frac{4}{|r_2|^2} + \frac{4}{|r_3|^2} + \frac{3}{|r_2|\cdot |r_3|} + \frac{1}{ |r_2|^2