दूसरे रैखिक बीजगणित पाठ्यक्रम में टेंसर उत्पादों को पढ़ाना

मैं रैखिक बीजगणित पाठ्यक्रम के दूसरे वर्ष में टेंसर उत्पादों को पेश करना चाहता हूं। जनसांख्यिकी विशिष्ट है: गणित, भौतिकी, कंप्यूटर विज्ञान आदि के छात्र, जिनके पास पहले से ही रैखिक प्रणालियों पर ध्यान केंद्रित करने वाला पाठ्यक्रम था। पाठ्यक्रम भी विशिष्ट है: हम रैखिक बीजगणित का सही तरीके से पालन करेंगे, वेक्टर रिक्त स्थान की मूल बातें, फिर ईजेनथिंग्स/विकर्णीकरण + आंतरिक उत्पादों पर छंद लगाएंगे। हम भागफल रिक्त स्थान को छोड़ देते हैं।

हालाँकि, यह विशिष्ट पाठ्यक्रम टेंसर उत्पादों को कवर नहीं करता है। शुद्ध गणित, क्वांटम मैकेनिकल उलझाव, विभेदक ज्यामिति में वेक्टर फ़ील्ड, कई सीएस अनुप्रयोगों (विशेष रूप से मशीन लर्निंग) आदि में सर्वव्यापी अनुप्रयोगों के कारण, अलग-अलग करने का मामला मजबूत है (बाद वाला इसे अन्य सभी लागू विज्ञानों के लिए भी उचित ठहराता है) ).

मैं टेंसर पेश करने के दो सामान्य तरीके देखता हूं: या तो इस स्तर के लिए एक बिल्कुल अमूर्त लेंस के माध्यम से (सार्वभौमिक संपत्ति, द्विरेखीय रूप, और फिर $V\otimes W$ के लिए एक प्रस्तुति), या एक अत्यंत आधार-उन्मुख दृष्टिकोण जो टेंसरों को उनके उत्पाद के लिए एक निश्चित नियम का पालन करते हुए बहुआयामी सरणियों के रूप में वर्णित करता है, जैसे कि। मुझे लगता है कि इनके बीच का एक रास्ता होना चाहिए जिससे रैखिक बीजगणित में दूसरा कोर्स करने वाले छात्रों को फायदा हो सके।

मुझे लगता है कि यह वास्तव में गणितीय नींव में एक दिलचस्प अंतर की ओर इशारा करता है। मेरे लिए टेंसर उत्पाद का वर्णन करने का सबसे साफ-सुथरा तरीका बस निम्नलिखित है:

इसके लिए सार्वभौमिक गुणों के बारे में कुछ भी कहने या मुक्त वेक्टर रिक्त स्थान का उपयोग करके टेंसर उत्पाद का निर्माण करने की आवश्यकता नहीं है, जिस पर मुझे संदेह है अंततः मूलभूत मुद्दों से निपटने के लिए एक हैक है: क्या आपको यह सुरुचिपूर्ण नहीं लगता कि दो परिमित-आयामी वेक्टर स्थानों $V, W$ के टेंसर उत्पाद का निर्माण करने के लिए, जो कि परिमित-आयामी भी है, हमें पहले इसे पास करना होगा एक अत्यंत अनंत-आयामी मध्यवर्ती वेक्टर स्थान $F(V \times W)$, इसे एक अत्यंत अनंत-आयामी उप-स्थान द्वारा उद्धृत करने से पहले? यह मध्यवर्ती स्थान कई छात्रों के लिए बहुत भ्रमित करने वाला है और हम इसे वैसे भी तुरंत त्याग देते हैं। तो क्या ऐसा दृष्टिकोण ढूंढना बेहतर नहीं होगा जो इससे बचता हो?

इसके बजाय उपरोक्त दृष्टिकोण के लिए सेट क्या है, इसकी हमारी अवधारणा को बदलना आवश्यक है। अर्थात्, हमें बिशप सेट का उपयोग करने की आवश्यकता है। nLab को उद्धृत करते हुए:

(बिशप) में सेट की धारणा को यह कहकर निर्दिष्ट किया गया है कि एक सेट को इस सेट के तत्वों का निर्माण कैसे करें और समानता का एक द्विआधारी संबंध देकर विवरण दिया जाना चाहिए, जो एक तुल्यता संबंध होना चाहिए।

यह वही है जो हमने ऊपर किया है: हमने वर्णन किया है कि टेंसर उत्पाद के तत्वों का निर्माण कैसे किया जाए और हमने वर्णन किया है कि टेंसर उत्पाद के दो तत्वों के लिए इसका क्या अर्थ है समान हो. इसलिए हमने एक बिशप सेट बनाया है। यदि आप चाहें, तो यह दो-चरणीय निर्माण को संक्षिप्त करने का एक तरीका है (पहले $F(V \times W)$ का निर्माण करें, फिर स्वयंसिद्ध उप-स्थान द्वारा भागफल का निर्माण करें) (इसलिए हमें कभी भी मध्यवर्ती $F पर चर्चा नहीं करनी पड़ेगी) (V \times W)$ सीधे), कुछ ऐसा उत्पादन करने की कीमत पर जो सामान्य अर्थों में एक सेट नहीं है।

लेकिन एक बिशप सेट हमें बताता है कि हमें गणना करने के लिए वास्तव में क्या चाहिए! इसलिए मैं तर्क दूंगा कि यह सामान्य सामग्री की तुलना में अर्थपूर्ण रूप से कम अमूर्त है और साथ ही गणितीय अभ्यास के करीब भी है। गणित में कई सेट वास्तव में स्वाभाविक रूप से बिशप सेट होते हैं, उदाहरण के लिए $\mathbb{Q}$ (आप एक अंश $\frac{n}{m}$ लिखकर एक तत्व का निर्माण करते हैं, और दो भिन्न समान होते हैं यदि आदि), $ \mathbb{R}$ (आप कॉची अनुक्रम को लिखकर एक तत्व का निर्माण करते हैं, और दो कॉची अनुक्रम समान हैं यदि आदि), आदि। निश्चित रूप से मैं कभी भी इस परिप्रेक्ष्य का उपयोग करके किसी को कुछ भी सिखाने की कोशिश करने की स्थिति में नहीं रहा हूं इसलिए मैं कितनी अच्छी तरह से बात नहीं कर सकते यह व्यवहार में काम करता है।

विचार की यह श्रृंखला ज्यामितीय बीजगणित के बारे में एक पेपर में एक टिप्पणी से प्रेरित हुई थी (मुझे लगता है कि हेस्टेंस द्वारा) कि क्लिफोर्ड बीजगणित को इस शैली में परिभाषित किया जा सकता है, इस तरह से कि एक स्पष्ट चर्चा से बचा जा सके टेन्सर उत्पाद, सार्वभौमिक गुण, आदि: आप बस यह कहते हैं कि $\text{Cl}(V, q)$ का एक तत्व ele में एक गैर-अनुवांशिक बहुपद है